Els nombres primers són aquells que només tenen 2 divisors, Ja que només són divisibles per si mateixos i per la unitat, és a dir, el nombre 1. Però compte !, són divisibles per els números tant positius com negatius. Què vol dir això? Molt senzill. Un nombre primer, per exemple, el 2, només es pot dividir entre 2, -2, 1 i -1.
Els nombres amb més de 2 divisors són els anomenats nombres compostos. Si prenem un nombre compost, per exemple, el 10, veurem que podem dividir-lo entre si mateix i la unitat, és a dir, entre 10 i entre 1, però també entre 2 i entre 5. Per això, el 10 és un nombre compost.
¿Tots els nombres són primers o compostos?
hi ha dos números «especials» que no són primers ni compostos: el 0 i l'1. Per què? Anem a veure-ho:
- El número 1 es pot dividir per si mateix (1/1 = 1) i per la unitat, és a dir, el número 1 (1/1 = 1). No obstant això, perquè un nombre sigui considerat primer, ha de tenir 2 divisors diferents. El número 1 només té un divisor, així que no és ni cosí ni compost.
- El 0 no es pot dividir entre si mateix, ja que el resultat és indeterminat.
Llavors, si traiem el 0 i l'1 de la llista, de la gran quantitat de nombres restants, com sabem quins són primers i quins no?
Com saber si un nombre és primer
El més normal és pensar en fer-ho per descart, és a dir, anar provant fins a trobar els divisors. Amb una calculadora és bastant ràpid, però si ho hem de fer de cap o amb boli i paper, es complica una mica la cosa. T'ensenyem dos mètodes per saber si un nombre és primer o no.
El sedàs d'Eratòstenes
El sedàs d'Eratòstenes és una tècnica per conèixer els nombres primers compresos entre el 2, Que és el primer nombre primer, i un nombre determinat.
Aquest mètode consisteix a fer una taula i anar ratllant els múltiples dels nombres enters. Primer eliminarem els múltiples de l'2, després de l'3, i així successivament fins a arribar a el número que elevat a el quadrat sigui més gran que l'últim número de la taula.
Com tot en les matemàtiques, el sedàs d'Eratòstenes s'entén millor amb un exemple:
- Fem una taula amb els números de l'2 a l'30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Ratllem a la llista els múltiples de l'2, és a dir, anem ratllant de 2 en 2: 4, 6, etc. Compte! El 2, que només es pot dividir entre si mateix i el número 1, no ho ratllem, ja que és nombre primer.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Agafem el següent nombre, el 3, i vam comprovar que elevat a el quadrat sigui menor que el nombre més gran de la taula. com 32 <30, seguim amb el sedàs i ratllem els seus múltiples: 6, 9, 12 ... Igual que en el pas anterior, no ratllem el número 3, que també és primer.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Repetim el pas anterior amb el següent nombre de la taula: el 4 està ratllat, així que agafem el 5. Com maig2 <30, ratllem els seus múltiples.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Seguim amb el següent nombre sense ratllar: el 7. Com juliol2 = 49, és a dir, el quadrat de 7 és més gran que l'últim número de la taula, el mètode acaba i els números sense ratllar són els nombres primers.
- Conclusió. Els nombres primers compresos entre el 2 i el 30 són: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29.
El sedàs d'Eratòstenes és un mètode ràpid i senzill per conèixer els nombres primers, però ¿què passa si el nombre que volem estudiar és molt alt, Per exemple, el 54657?
Com comprendràs, no seria gens pràctic fer una taula de el 2 a l'54657, oi? Què podem fer llavors? Molt fàcil: utilitzar els criteris de divisibilitat.
Criteris de divisibilitat
Els criteris de divisibilitat són regles per a esbrinar si un nombre és divisible per un altre sense haver de fer la divisió.
Així, si fem servir aquestes regles i observem que un nombre és divisible per un altre nombre diferent de si mateix i la unitat, sabrem que no és primer.
- Criteri de divisibilitat de l'nombre 2. Un nombre és divisible entre 2 si és parell, és a dir, si acaba en 0, 2, 4, 6 o 8. I compte !, aquí va un truc: com qualsevol nombre divisible entre 4, 6 o 8 també és divisible entre 2, no ens caldrà conèixer els criteris de divisibilitat dels altres nombres parells.
- Criteri de divisibilitat de l'nombre 3. Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres és múltiple de tres. Vegem un exemple:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Com 15 és múltiple de 3, 267 és divisible per 3.
A més, com tot nombre divisible per 9 també és divisible per 3, en tindrem prou amb conèixer aquest criteri.
- Criteri de divisibilitat de l'nombre 5. Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5.
- Criteri de divisibilitat de l'nombre 7. Per saber si un nombre és divisible per 7, hem de restar el nombre sense la darrera xifra i el doble de l'última xifra. Si el nombre obtingut és 0 o un múltiple de 7, el nombre inicial és divisible per 7. Aquest ho entendràs millor amb un exemple, anem a això!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Com 21 és múltiple de 7, 378 és divisible per 7.
- Criteri de divisibilitat de l'nombre 11. Si restem la suma de les xifres parells i la suma de les xifres imparells, i el nombre obtingut és 0 o múltiple de 11, això vol dir que el nombre estudiat és divisible per 11. Aquí va un exemple:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Com 11 és múltiple de 11, 8591 és divisible per 11.
I això és tot! Ara és el teu torn: ¿sabries ia calcular si aquest nombre tan alt, el 54657, és primer?
Llistat de nombres primers d'1 a 10.000
Finalment, si estàs buscant un llistat de nombres primers d'entre 1 a el 10.000, com de l'1 a l'100 o de l'1 a l'1.000, aquí tens un de complet i actualitzat:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
