अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जो उनके पास केवल 2 डिवाइडर हैं, चूंकि वे केवल स्वयं से और इकाई से, यानी संख्या 1 से विभाज्य हैं, लेकिन सावधान रहें! वे सकारात्मक और नकारात्मक दोनों संख्याओं से विभाज्य हैं। इसका क्या मतलब है? बहुत आसान। एक अभाज्य संख्या, उदाहरण के लिए 2, को केवल 2, -2, 1 और -1 से विभाजित किया जा सकता है।
2 से अधिक भाजक वाली संख्याएँ कहलाती हैं रचित संख्या. यदि हम एक भाज्य संख्या लेते हैं, उदाहरण के लिए, 10, तो हम देखेंगे कि हम इसे अपने और एकता के बीच, यानी 10 और 1 के बीच, लेकिन 2 और 5 के बीच भी विभाजित कर सकते हैं। इसलिए, 10 एक भाज्य संख्या है।
क्या सभी संख्याएँ अभाज्य हैं या मिश्रित?
दो हैं "विशेष" संख्या जो न तो अभाज्य हैं और न ही यौगिक: 0 और 1. क्यों? चलिये देखते हैं:
- संख्या 1 को स्वयं (1/1 = 1) और एकता से विभाजित किया जा सकता है, अर्थात संख्या 1 (1/1 = 1)। हालाँकि, किसी संख्या को अभाज्य माना जाने के लिए, उसके 2 भिन्न भाजक होने चाहिए। संख्या 1 में केवल एक भाजक है, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।
- 0 को स्वयं से विभाजित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि परिणाम अनिश्चित है।
तो अगर हम सूची से 0 और 1 को हटा दें, तो बड़ी संख्या में शेष संख्याओं में से, हमें कैसे पता चलेगा कि कौन सी अभाज्य है और कौन सी नहीं?
कैसे पता चलेगा कि कोई संख्या अभाज्य है
सबसे सामान्य बात यह है कि इसे त्याग कर करने के बारे में सोचना, यानी भाजक को खोजने का प्रयास करना। कैलकुलेटर के साथ यह काफी तेज है, लेकिन अगर हमें इसे उल्टा करना है या पेन और पेपर से करना है, तो चीजें थोड़ी जटिल हो जाती हैं। हम आपको यह जानने के लिए दो तरीके सिखाते हैं कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं।
एराटोस्थनीज की छलनी
एराटोस्थनीज की छलनी है a 2 . के बीच की अभाज्य संख्याओं को जानने की तकनीक, जो पहली अभाज्य संख्या है, और एक निश्चित संख्या.
इस विधि में एक तालिका बनाना और पूर्ण संख्याओं के गुणजों को पार करना शामिल है। पहले हम 2 के गुणजों को हटा देंगे, फिर 3, और इसी तरह जब तक हम उस संख्या तक नहीं पहुँच जाते जो वर्ग तालिका में अंतिम संख्या से अधिक है।
गणित में हर चीज की तरह, एराटोस्थनीज चलनी को एक उदाहरण के साथ सबसे अच्छी तरह समझा जाता है:
- हम 2 से 30 तक की संख्याओं के साथ एक तालिका बनाते हैं।
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- हम सूची में से 2 के गुणजों को काट देते हैं, अर्थात हम 2 से 2: 4, 6, आदि को काट देते हैं। ध्यान रहें! 2, जिसे केवल स्वयं और संख्या 1 के बीच विभाजित किया जा सकता है, हम इसे पार नहीं करते हैं, क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या है।
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- हम अगली संख्या 3 लेते हैं, और जाँचते हैं कि वर्ग तालिका में सबसे बड़ी संख्या से कम है। 3 . के रूप में2 <30, हम चलनी के साथ जारी रखते हैं और इसके गुणकों को पार करते हैं: 6, 9, 12 ... पिछले चरण की तरह, हम संख्या 3 को पार नहीं करते हैं, जो कि अभाज्य भी है।
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- हम तालिका में अगली संख्या के साथ पिछले चरण को दोहराते हैं: 4 को काट दिया जाता है, इसलिए हम 5 लेते हैं। 5 . के रूप में2 <30, हम उनके गुणजों को काट देते हैं।
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- हम निम्नलिखित संख्या को पार किए बिना जारी रखते हैं: 7. 7 . के रूप में2 = ४९, अर्थात्, ७ का वर्ग तालिका में अंतिम संख्या से बड़ा है, विधि समाप्त होती है, और बिना पार किए संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं।
- निष्कर्ष। 2 और 30 के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29।
एराटोस्थनीज चलनी अभाज्य संख्याओं को जानने का एक त्वरित और आसान तरीका है, लेकिन इसके बारे में क्याक्या होगा यदि हम जिस संख्या का अध्ययन करना चाहते हैं वह बहुत अधिक है, उदाहरण के लिए, 54657?
जैसा कि आप समझते हैं, 2 से 54657 तक की तालिका बनाना व्यावहारिक नहीं होगा, है ना? तब हम क्या कर सकते हैं? बहुत आसान: विभाज्यता मानदंड का उपयोग करें.
विभाज्यता मानदंड
विभाज्यता मानदंड हैं यह पता लगाने के नियम कि क्या एक संख्या बिना विभाजन के दूसरी संख्या से विभाज्य है.
इस प्रकार, यदि हम इन नियमों का उपयोग करते हैं और देखते हैं कि एक संख्या स्वयं और इकाई के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, तो हम जानेंगे कि यह अभाज्य नहीं है।
- संख्या 2 की विभाज्यता का मानदंड। एक संख्या 2 से विभाज्य है यदि यह सम है, अर्थात, यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 में समाप्त होती है। और, यहाँ एक चाल है: जैसे कोई संख्या 4 से विभाज्य है, 6 या 8 भी 2 से विभाज्य है, हमें अन्य सम संख्याओं की विभाज्यता मानदंड जानने की आवश्यकता नहीं होगी।
- संख्या 3 की विभाज्यता का मानदंड। कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग तीन का गुणज हो। आइए एक उदाहरण देखें:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
चूँकि 15, 3 का गुणज है, 267, 3 से विभाज्य है।
इसके अलावा, चूंकि 9 से विभाज्य प्रत्येक संख्या भी 3 से विभाज्य है, इसलिए हमारे लिए इस मानदंड को जानना पर्याप्त होगा।
- संख्या 5 की विभाज्यता मानदंड। कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि वह 0 या 5 पर समाप्त होती है।
- संख्या 7 की विभाज्यता का मानदंड। यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई संख्या 7 से विभाज्य है, हमें अंतिम अंक के बिना संख्या को घटाना चाहिए और अंतिम अंक को दोगुना करना चाहिए। यदि प्राप्त संख्या 0 है या 7 का गुणज है, तो प्रारंभिक संख्या 7 से विभाज्य है। आप इसे एक उदाहरण से बेहतर ढंग से समझेंगे, आइए इसे समझते हैं!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
चूँकि 21, 7 का गुणज है, 378, 7 से विभाज्य है।
- संख्या 11 की विभाज्यता का मानदंड। यदि हम सम संख्याओं का योग और विषम संख्याओं का योग घटाते हैं, और प्राप्त संख्या 0 या 11 का गुणज है, तो इसका मतलब है कि अध्ययन की गई संख्या 11 से विभाज्य है। यहाँ है एक उदाहरण:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
चूँकि 11, 11 का गुणज है, 8591, 11 से विभाज्य है।
और बस यही! अब आपकी बारी है: क्या आप पहले से ही जानते हैं कि गणना कैसे की जाती है, अगर वह उच्च संख्या, 54657, एक अभाज्य है?
१ से १०,००० तक अभाज्य संख्याओं की सूची
अंत में, यदि आप १ से १०,००० तक अभाज्य संख्याओं की सूची की तलाश में हैं, जैसे १ से १०० या १ से १,०००, तो यहां एक पूर्ण और अद्यतन है:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
