I numeri primi sono quelli che hanno solo 2 divisori, poiché sono divisibili solo per se stessi e per l'unità, cioè il numero 1. Ma attenzione, sono divisibili sia per i numeri positivi che per quelli negativi. Cosa significa questo? Molto facile. Un numero primo, ad esempio 2, può essere diviso solo per 2, -2, 1 e -1.
Vengono chiamati i numeri con più di 2 divisori numeri composti. Se prendiamo un numero composto, ad esempio 10, vedremo che possiamo dividerlo per se stesso e per l'unità, cioè tra 10 e 1, ma anche tra 2 e 5. Quindi 10 è un numero composto.
Tutti i numeri sono primi o composti?
Ce ne sono due numeri "speciali" che non sono né primi né composti: lo 0 e l'1. Come mai? Vediamolo:
- Il numero 1 può essere diviso per se stesso (1/1 = 1) e per l'unità, cioè il numero 1 (1/1 = 1). Tuttavia, per essere considerato un numero primo, deve avere 2 divisori diversi. Il numero 1 ha un solo divisore, quindi non è né un primo né un composto.
- Lo 0 non può essere diviso da solo, poiché il risultato è indeterminato.
Quindi, se rimuoviamo 0 e 1 dall'elenco, dal gran numero di numeri rimanenti, come facciamo a sapere quali sono primi e quali no?
Come sapere se un numero è primo?
La cosa più normale è pensare di farlo scartando, cioè cercando di trovare i divisori. Con una calcolatrice è abbastanza veloce, ma se dobbiamo farlo a testa in giù o con carta e penna, le cose si complicano un po'. Ti insegniamo due metodi per sapere se un numero è primo o meno.
Il setaccio di Eratostene
Il crivello di Eratostene è un tecnica per conoscere i numeri primi tra 2, che è il primo numero primo, e un certo numero.
Questo metodo consiste nel fare una tabella e barrare i multipli dei numeri interi. Prima elimineremo i multipli di 2, poi 3, e così via fino a raggiungere il numero che al quadrato è maggiore dell'ultimo numero nella tabella.
Come ogni cosa in matematica, il crivello di Eratostene si comprende meglio con un esempio:
- Facciamo una tabella con i numeri da 2 a 30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Cancelliamo i multipli di 2 dall'elenco, cioè cancelliamo da 2 a 2: 4, 6, ecc. Attento! Il 2, che può essere diviso solo tra se stesso e il numero 1, non lo cancelliamo, poiché è un numero primo.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Prendiamo il numero successivo, 3, e controlliamo che il quadrato sia minore del numero più grande nella tabella. Come 32 <30, continuiamo con il setaccio e cancelliamo i suoi multipli: 6, 9, 12 ... Come nel passaggio precedente, non cancelliamo il numero 3, che è anche primo.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Ripetiamo il passaggio precedente con il numero successivo nella tabella: 4 è barrato, quindi prendiamo 5. Come 52 <30, cancelliamo i loro multipli.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Continuiamo con il seguente numero senza barrare: 7. Come 72 = 49, ovvero il quadrato di 7 è maggiore dell'ultimo numero nella tabella, il metodo termina e i numeri senza barratura sono i numeri primi.
- Conclusione. I numeri primi compresi tra 2 e 30 sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
Il crivello di Eratostene è un metodo facile e veloce per scoprire i numeri primi, ma che dire?cosa succede se il numero che vogliamo studiare è troppo alto?, ad esempio, 54657?
Come capisci, non sarebbe pratico fare una tabella da 2 a 54657, giusto? Cosa possiamo fare allora? Molto facile: utilizzare criteri di divisibilità.
Criteri di divisibilità
I criteri di divisibilità sono regole per scoprire se un numero è divisibile per un altro senza dover fare la divisione.
Quindi, se usiamo queste regole e osserviamo che un numero è divisibile per un altro numero diverso da se stesso e dall'unità, sapremo che non è primo.
- Criterio di divisibilità del numero 2. Un numero è divisibile per 2 se è pari, cioè se finisce per 0, 2, 4, 6 o 8. Ed ecco un trucco: come ogni numero divisibile per 4, 6 o 8 è anche divisibile per 2, non avremo bisogno di conoscere i criteri di divisibilità degli altri numeri pari.
- Criterio di divisibilità del numero 3. Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di tre. Vediamo un esempio:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Poiché 15 è un multiplo di 3, 267 è divisibile per 3.
Inoltre, poiché ogni numero divisibile per 9 è anche divisibile per 3, ci basterà conoscere questo criterio.
- Criterio di divisibilità del numero 5. Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 o 5.
- Criterio di divisibilità del numero 7. Per sapere se un numero è divisibile per 7, bisogna sottrarre il numero senza l'ultima cifra e il doppio dell'ultima cifra. Se il numero ottenuto è 0 o un multiplo di 7, il numero iniziale è divisibile per 7. Lo capirai meglio con un esempio, veniamoci!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Poiché 21 è un multiplo di 7, 378 è divisibile per 7.
- Criterio di divisibilità del numero 11. Se sottraiamo la somma dei numeri pari e la somma dei numeri dispari, e il numero ottenuto è 0 o un multiplo di 11, significa che il numero studiato è divisibile per 11. Ecco un esempio:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Poiché 11 è un multiplo di 11, 8591 è divisibile per 11.
E questo è tutto! Ora tocca a te: sapresti già calcolare se quel numero alto, 54657, è un numero primo?
Elenco dei numeri primi da 1 a 10.000
Infine, se stai cercando un elenco di numeri primi compresi tra 1 e 10.000, ad esempio da 1 a 100 o da 1 a 1.000, eccone uno completo e aggiornato:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
