מספרים ראשוניים הם אלה יש להם רק 2 מחיצות, מכיוון שהם מתחלקים רק בעצמם וביחידה, כלומר המספר 1. אך היזהרו! הם מתחלקים במספרים חיוביים ושליליים כאחד. מה זה אומר? קל מאוד. ניתן לחלק מספר ראשוני, למשל 2, ב- 2, -2, 1 ו- -1.
מספרים עם יותר מ -2 מחלקים נקראים מספרים מורכבים. אם ניקח מספר מורכב, למשל, 10, נראה כי נוכל לחלק אותו בעצמו ואחדות, כלומר בין 10 ל -1, אך גם בין 2 ל 5. לכן, 10 הוא מספר מורכב.
האם כל המספרים ראשוניים או מרוכבים?
יש שניים מספרים "מיוחדים" שאינם ראשוניים ולא מורכבים: ה 0 וה -1. למה? בואו נראה את זה:
- ניתן לחלק את המספר 1 בעצמו (1/1 = 1) ובאחדות, כלומר המספר 1 (1/1 = 1). עם זאת, כדי שמספר ייחשב כראשוני, עליו להיות בעל 2 מחלקים שונים. למספר 1 יש רק מחלק אחד, כך שהוא אינו ראשוני ואינו מרוכב.
- לא ניתן לחלק את ה -0 בעצמו, מכיוון שהתוצאה אינה מוגדרת.
אז אם נסיר את 0 ו -1 מהרשימה, מתוך המספר הרב שנותר, כיצד נדע אילו הם ראשוניים ואילו לא?
כיצד ניתן לדעת אם מספר ראשוני
הדבר הנורמלי ביותר הוא לחשוב לעשות זאת על ידי השלכה, כלומר לנסות למצוא את המחלקים. עם מחשבון זה די מהיר, אבל אם אנחנו צריכים לעשות את זה הפוך או עם עט ונייר, הדברים מסתבכים מעט. אנו מלמדים אותך שתי שיטות לדעת אם מספר הוא ראשוני או לא.
מסננת ארטוסטנס
המסננת של Eratosthenes היא א טכניקה לדעת את המספרים הראשוניים בין 2שהוא המספר הראשוני הראשון, ומספר מסוים.
שיטה זו מורכבת מיצירת טבלה ומחציית כפולי המספרים השלמים. ראשית נמחק את הכפלים של 2, אחר כך 3, וכך הלאה עד שנגיע למספר בריבוע גדול מהמספר האחרון בטבלה.
כמו כל דבר במתמטיקה, מסננת הארטוסטנס מובנת בצורה הטובה ביותר באמצעות דוגמה:
- אנו יוצרים טבלה עם המספרים מ -2 עד 30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- אנו חוצים את הכפלים של 2 ברשימה, כלומר, אנו חוצים 2 עד 2: 4, 6 וכו '. היזהר! את ה -2, שניתן לחלק בינו לבין המספר 1 בלבד, איננו מחקים אותו מכיוון שהוא מספר ראשוני.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- אנו לוקחים את המספר הבא, 3, ובודקים שהריבוע פחות מהמספר הגדול ביותר בטבלה. כמו 32 <30, אנו ממשיכים עם המסננת וחוצים את כפלותיה: 6, 9, 12 ... כמו בשלב הקודם, איננו חוצים את המספר 3, שהוא גם ראשוני.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- אנו חוזרים על השלב הקודם עם המספר הבא בטבלה: 4 נמחץ, כך שאנו לוקחים 5. כ -52 <30, אנו חוצים את הכפלים שלהם.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- אנו ממשיכים במספר הבא מבלי לסמן: 7. כמו 72 = 49, כלומר הריבוע של 7 גדול מהמספר האחרון בטבלה, השיטה מסתיימת, והמספרים מבלי לחצות הם המספרים הראשוניים.
- סיכום. המספרים הראשוניים בין 2 ל -30 הם: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ו -29.
מסננת Eratosthenes היא שיטה מהירה וקלה לברר מספרים ראשוניים, אבל מה לגבימה אם המספר שברצוננו ללמוד גבוה מדי, למשל, 54657?
כפי שאתה מבין, זה לא יהיה מעשי להכין שולחן מ -2 עד 54657, נכון? מה נוכל לעשות אז? קל מאוד: להשתמש בקריטריונים לחלוקה.
קריטריונים לחלוקה
קריטריוני החלוקה הם כללים כדי לברר אם מספר אחד מתחלק במספר אחר מבלי לעשות חלוקה.
לפיכך, אם נשתמש בכללים אלה ונצפה כי מספר מתחלק במספר אחר מלבדו והיחידה, נדע כי הוא אינו ראשוני.
- קריטריון חלוקת המספר 2. מספר מתחלק ב -2 אם הוא שווה, כלומר אם הוא מסתיים ב 0, 2, 4, 6 או 8. והנה טריק: כמו כל מספר שחלקו ב -4, 6 או 8 מתחלקים גם ב- 2, לא נצטרך לדעת את הקריטריונים לחלוקה של המספרים הזוגיים האחרים.
- קריטריון חלוקת המספר 3. מספר מתחלק ב -3 אם סכום הספרות שלו הוא כפולה משלוש. בואו נראה דוגמא:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
מכיוון ש- 15 הוא כפולה של 3, 267 מתחלק ב -3.
בנוסף, מכיוון שכל מספר שמתחלק ב -9 הוא גם מתחלק ב -3, מספיק שנכיר את הקריטריון הזה.
- קריטריון לחלוקה של המספר 5. מספר מתחלק ב -5 אם הוא מסתיים ב 0 או 5.
- קריטריון חלוקת המספר 7. כדי לברר אם מספר מתחלק ב -7, עלינו להפחית את המספר ללא הספרה האחרונה ופעמיים את הספרה האחרונה. אם המספר המתקבל הוא 0 או כפולה של 7, המספר ההתחלתי מתחלק ב 7. תבינו זאת טוב יותר עם דוגמה, בואו נגיע לזה!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
מכיוון ש- 21 הוא כפולה של 7, 378 מתחלק ב -7.
- קריטריון חלוקת המספר 11. אם נגרע את סכום המספרים הזוגיים ואת סכום המספרים האי -זוגיים, והמספר המתקבל הוא 0 או כפולה של 11, המשמעות היא שהמספר הנלמד מתחלק ב- 11. הנה דוגמה:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
מכיוון ש- 11 הוא כפולה של 11, 8591 מתחלק ב -11.
וזה הכל! עכשיו תורך: האם כבר היית יודע כיצד לחשב אם המספר הגבוה הזה, 54657, הוא ראשוני?
רשימת המספרים הראשוניים מ -1 עד 10.000
לבסוף, אם אתה מחפש רשימה של מספרים ראשוניים בין 1 ל -10.000, כגון 1 עד 100 או 1 עד 1.000, הנה מספר מלא ומעודכן:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
