Liczby pierwsze to te, które mają tylko 2 przegródki, ponieważ są podzielne tylko przez siebie i przez jednostkę, czyli liczbę 1. Ale uważaj, są podzielne zarówno przez liczby dodatnie, jak i ujemne. Co to znaczy? Bardzo łatwe. Liczbę pierwszą, na przykład 2, można podzielić tylko przez 2, -2, 1 i -1.
Liczby z więcej niż 2 dzielnikami są nazywane numery złożone. Jeśli weźmiemy liczbę złożoną, na przykład 10, zobaczymy, że możemy ją podzielić między nią a jednością, czyli między 10 a 1, ale także między 2 a 5. Dlatego 10 jest liczbą złożoną.
Czy wszystkie liczby są pierwsze czy złożone?
Są dwa numery "specjalne" które nie są ani pierwsze, ani złożone: 0 i 1. Czemu? Zobaczmy:
- Liczbę 1 można podzielić przez samą (1/1 = 1) i przez jedność, czyli liczbę 1 (1/1 = 1). Jednak, aby liczba była uważana za pierwszą, musi mieć 2 różne dzielniki. Liczba 1 ma tylko jeden dzielnik, więc nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną.
- 0 nie może być podzielone samo przez się, ponieważ wynik jest nieokreślony.
Jeśli więc usuniemy 0 i 1 z listy spośród dużej liczby pozostałych liczb, skąd mamy wiedzieć, które są pierwsze, a które nie?
Jak sprawdzić, czy liczba jest liczbą pierwszą?
Najbardziej normalną rzeczą jest myślenie o zrobieniu tego przez odrzucenie, to jest testowanie, aż znajdziesz dzielniki. Z kalkulatorem jest to dość szybkie, ale jeśli musimy to zrobić do góry nogami lub za pomocą długopisu i papieru, sprawy trochę się komplikują. Nauczymy Cię dwóch metod sprawdzania, czy liczba jest liczbą pierwszą, czy nie.
Sito Eratostenesa
Sito Eratostenesa jest technika poznania liczb pierwszych między 2, czyli pierwsza liczba pierwsza, i pewna liczba.
Ta metoda polega na sporządzeniu tabeli i wykreśleniu wielokrotności liczb całkowitych. Najpierw wyeliminujemy wielokrotności 2, potem 3 i tak dalej, aż osiągniemy liczbę, która do kwadratu jest większa niż ostatnia liczba w tabeli.
Jak wszystko w matematyce, sito Eratostenesa najlepiej zrozumieć na przykładzie:
- Wykonujemy tabelę z liczbami od 2 do 30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Wykreślamy wielokrotności 2 na liście, czyli wykreślamy od 2 do 2:4, 6 itd. Uważaj! 2, które można podzielić tylko między sobą i liczbą 1, nie skreślamy jej, ponieważ jest to liczba pierwsza.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Bierzemy następną liczbę, 3, i sprawdzamy, czy kwadrat jest mniejszy od największej liczby w tabeli. Jak 32 <30, kontynuujemy z sitem i przekreślamy jego wielokrotności: 6, 9, 12... Podobnie jak w poprzednim kroku nie przekreślamy liczby 3, która również jest liczbą pierwszą.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Poprzedni krok powtarzamy z następną liczbą w tabeli: 4 jest przekreślone, więc bierzemy 5. Jako 52 <30, przekreślamy ich wielokrotności.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Kontynuujemy z następującą liczbą bez skreślania: 7. Jako 72 = 49, czyli kwadrat 7 jest większy niż ostatnia liczba w tabeli, metoda się kończy, a liczby bez skreślenia są liczbami pierwszymi.
- Wniosek. Liczby pierwsze od 2 do 30 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29.
Sito Eratostenesa to szybka i łatwa metoda na poznanie liczb pierwszych, ale co zco jeśli liczba, którą chcemy studiować, jest zbyt wysoka?na przykład 54657?
Jak rozumiesz, nie byłoby praktyczne zrobienie stołu od 2 do 54657, prawda? Co możemy wtedy zrobić? Bardzo łatwe: stosować kryteria podzielności.
Kryteria podzielności
Kryteria podzielności to zasady, aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez drugą bez konieczności dzielenia.
Tak więc, jeśli użyjemy tych reguł i zaobserwujemy, że liczba jest podzielna przez inną liczbę inną niż ona sama i jednostka, będziemy wiedzieć, że nie jest ona liczbą pierwszą.
- Kryterium podzielności liczby 2. Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jest parzysta, czyli kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8. I oto sztuczka: jak każda liczba podzielna przez 4, 6 lub 8 jest również podzielne przez 2, nie będziemy musieli znać kryteriów podzielności innych liczb parzystych.
- Kryterium podzielności liczby 3. Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest wielokrotnością trzech. Zobaczmy przykład:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Ponieważ 15 jest wielokrotnością 3, 267 jest podzielne przez 3.
Co więcej, ponieważ każda liczba podzielna przez 9 jest również podzielna przez 3, wystarczy nam znać to kryterium.
- Kryterium podzielności liczby 5. Liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się na 0 lub 5.
- Kryteria podzielności liczby 7. Aby dowiedzieć się, czy liczba jest podzielna przez 7, musimy odjąć liczbę bez ostatniej cyfry i dwukrotność ostatniej cyfry. Jeśli otrzymana liczba to 0 lub wielokrotność 7, to początkowa liczba jest podzielna przez 7. Lepiej to zrozumiesz na przykładzie, przejdźmy do tego!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Ponieważ 21 jest wielokrotnością 7, 378 jest podzielne przez 7.
- Kryterium podzielności liczby 11. Jeśli odejmiemy sumę liczb parzystych i sumę liczb nieparzystych, a otrzymaną liczbą jest 0 lub wielokrotność 11, oznacza to, że badana liczba jest podzielna przez 11. Tutaj jest przykład:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Ponieważ 11 jest wielokrotnością 11, 8591 jest podzielne przez 11.
I to wszystko! Teraz twoja kolej: czy wiesz już, jak obliczyć, czy ta wysoka liczba, 54657, jest liczbą pierwszą?
Lista liczb pierwszych od 1 do 10.000 XNUMX
Na koniec, jeśli szukasz listy liczb pierwszych od 1 do 10.000 1, na przykład od 100 do 1 lub od 1.000 do XNUMX, oto pełna i zaktualizowana lista:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
