Osnovne številke so tiste, ki imajo samo 2 delilnika, saj so deljive samo s seboj in z enoto, to je s številom 1. Vendar bodite previdni! Delimo jih tako s pozitivnimi kot z negativnimi števili. Kaj to pomeni? Zelo enostavno. Prvo število, na primer 2, lahko delite samo z 2, -2, 1 in -1.
Kličejo se številke z več kot 2 delitelji sestavljene številke. Če vzamemo sestavljeno število, na primer 10, bomo videli, da ga lahko razdelimo po sebi in enotnosti, torej med 10 in 1, pa tudi med 2 in 5. Zato je 10 sestavljeno število.
Ali so vsa števila prosta ali sestavljena?
Obstajata dva "posebne" številke ki niso niti glavni niti sestavljeni: 0 in 1. Zakaj? Poglejmo:
- Število 1 je mogoče razdeliti samo (1/1 = 1) in z enoto, to je številko 1 (1/1 = 1). Če pa se šteje, da je število prosto število, mora imeti 2 različna delitelja. Število 1 ima samo en delitelj, zato ni niti prost niti sestavljen.
- Številke 0 ni mogoče razdeliti same, saj je rezultat nedoločen.
Če torej iz velikega števila preostalih številk odstranimo 0 in 1 s seznama, kako vemo, katera so glavna in katera ne?
Kako vedeti, ali je število preprosto
Najbolj normalno je, da o tem razmišljate tako, da zavržete, torej poskusite, dokler ne najdete deliteljev. S kalkulatorjem je to precej hitro, če pa moramo to narediti na glavo ali s peresom in papirjem, se stvari nekoliko zapletejo. Naučimo vas dveh metod, da ugotovite, ali je število prosto ali ne.
Eratostenovo sito
Eratostenovo sito je a tehnika za poznavanje praštevil med 2, ki je prvo prosto število, in določeno število.
Ta metoda je sestavljena iz izdelave tabele in prečrtanja večkratnikov celih števil. Najprej bomo odstranili večkratnike 2, nato 3 in tako naprej, dokler ne dosežemo števila, ki je na kvadrat večje od zadnjega števila v tabeli.
Tako kot vse v matematiki je Eratostenovo sito najbolje razumeti s primerom:
- Naredimo tabelo s številkami od 2 do 30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- S seznama prečrtamo večkratnike 2, torej prečrtamo od 2 do 2: 4, 6 itd. Pazi! Številke 2, ki jo lahko razdelimo samo med seboj in številko 1, ne prečrtamo, saj gre za prvo število.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Vzamemo naslednjo številko 3 in preverimo, ali je kvadrat manjši od največjega števila v tabeli. Kot 32 <30, nadaljujemo s sito in prečrtamo njegove večkratnike: 6, 9, 12 ... Tako kot v prejšnjem koraku ne prečrtamo številke 3, ki je tudi prosta.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Prejšnji korak ponovimo z naslednjo številko v tabeli: 4 je prečrtano, zato vzamemo 5. Kot 52 <30, prečrtamo njihove večkratnike.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Nadaljujemo z naslednjo številko, ne da bi prečrtali: 7. Kot 72 = 49, to je kvadrat 7 je večji od zadnjega števila v tabeli, metoda se konča, številke brez prečrtavanja pa so proste številke.
- Zaključek. Praštevila med 2 in 30 so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 in 29.
Eratostenovo sito je hitra in enostavna metoda za poznavanje osnovnih števil, kaj pakaj pa če je število, ki ga želimo študirati, previsokona primer 54657?
Kot razumete, ne bi bilo praktično narediti mize od 2 do 54657, kajne? Kaj lahko potem storimo? Zelo enostavno: uporabite merila za deljivost.
Merila za deljivost
Merila za deljivost so pravila, da ugotovite, ali je eno število deljivo z drugim, ne da bi bilo treba deliti.
Če torej uporabimo ta pravila in opazimo, da je število deljivo z drugim številom, razen s samim seboj in enoto, bomo vedeli, da ni praštevilo.
- Merilo deljivosti števila 2. Število je deljivo z 2, če je sodo, to je, če se konča na 0, 2, 4, 6 ali 8. In tu je zvijača: tako kot vsako število, deljivo s 4, 6 ali 8 je tudi deljivo z 2, ne bo nam treba poznati meril za deljivost drugih parnih števil.
- Merilo deljivosti števila 3. Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk večkratnik treh. Poglejmo primer:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Ker je 15 večkratnik 3, je 267 deljivo s 3.
Poleg tega, ker je vsako število, deljivo z 9, deljivo tudi s 3, bo dovolj, da poznamo to merilo.
- Merilo deljivosti števila 5. Število je deljivo s 5, če se konča z 0 ali 5.
- Merilo deljivosti števila 7. Če želimo ugotoviti, ali je število deljivo s 7, moramo odšteti število brez zadnje številke in dvakrat zadnje številke. Če je dobljeno število 0 ali večkratnik 7, je začetno število deljivo s 7. To boste bolje razumeli s primerom, pojdimo na to!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Ker je 21 večkratnik 7, je 378 deljivo s 7.
- Merilo deljivosti števila 11. Če odštejemo vsoto parnih števil in vsoto lihih številk, dobljeno število pa 0 ali večkratnik 11, to pomeni, da je preučeno število deljivo z 11. Tu je primer:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Ker je 11 večkratnik 11, je 8591 deljivo s 11.
In to je vse! Zdaj ste na vrsti: bi že vedeli, kako izračunati, če je to visoko število, 54657, osnovno?
Seznam praštevil od 1 do 10.000
Nazadnje, če iščete seznam osnovnih števil od 1 do 10.000, na primer 1 do 100 ali 1 do 1.000, je tukaj popoln in posodobljen:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
