Οι πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν μόνο 2 διαχωριστικά, αφού διαιρούνται μόνο από μόνα τους και με τη μονάδα, δηλαδή τον αριθμό 1. Προσοχή όμως! Διαιρούνται με θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. Τι σημαίνει αυτό? Πολύ εύκολο. Ένας πρώτος αριθμός, για παράδειγμα 2, μπορεί να διαιρεθεί μόνο με 2, -2, 1 και -1.
Λέγονται αριθμοί με περισσότερους από 2 διαιρέτες σύνθετους αριθμούςΤο Αν πάρουμε έναν σύνθετο αριθμό, για παράδειγμα, 10, θα δούμε ότι μπορούμε να τον χωρίσουμε μεταξύ του ίδιου και της ενότητας, δηλαδή μεταξύ 10 και 1, αλλά και μεταξύ 2 και 5. Επομένως, το 10 είναι ένας σύνθετος αριθμός.
Είναι όλοι οι αριθμοί πρώτοι ή σύνθετοι;
Υπάρχουν δύο "ειδικοί" αριθμοί που δεν είναι ούτε πρώτες ούτε σύνθετες: το 0 και το 1Το Γιατί; Ας το δούμε:
- Ο αριθμός 1 μπορεί να διαιρεθεί από μόνος του (1/1 = 1) και με την ενότητα, δηλαδή τον αριθμό 1 (1/1 = 1). Ωστόσο, για να θεωρηθεί ένας αριθμός πρώτος, πρέπει να έχει 2 διαφορετικούς διαιρέτες. Ο αριθμός 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη, οπότε δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.
- Το 0 δεν μπορεί να διαιρεθεί από μόνο του, αφού το αποτέλεσμα είναι απροσδιόριστο.
Αν λοιπόν αφαιρέσουμε το 0 και το 1 από τη λίστα, από τον μεγάλο αριθμό των υπόλοιπων αριθμών, πώς ξέρουμε ποιοι είναι πρώτοι και ποιοι όχι;
Πώς να καταλάβετε αν ένας αριθμός είναι πρώτος
Το πιο φυσιολογικό είναι να σκεφτούμε να το κάνουμε απορρίπτοντας, δηλαδή προσπαθώντας να βρούμε τους διαιρέτες. Με μια αριθμομηχανή είναι αρκετά γρήγορο, αλλά αν πρέπει να το κάνουμε ανάποδα ή με στυλό και χαρτί, τα πράγματα γίνονται λίγο περίπλοκα. Σας διδάσκουμε δύο μεθόδους για να γνωρίζετε εάν ένας αριθμός είναι πρώτος ή όχι.
Το κόσκινο του Ερατοσθένη
Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι α τεχνική για να γνωρίζουμε τους πρώτους αριθμούς μεταξύ 2, που είναι ο πρώτος πρώτος αριθμός, και έναν ορισμένο αριθμό.
Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη δημιουργία ενός πίνακα και τη διασταύρωση των πολλαπλάσιων των ακέραιων αριθμών. Αρχικά θα εξαλείψουμε τα πολλαπλάσια του 2, μετά του 3, και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό που ο τετραγωνικός είναι μεγαλύτερος από τον τελευταίο αριθμό του πίνακα.
Όπως όλα στα μαθηματικά, το κόσκινο του Ερατοσθένη γίνεται καλύτερα κατανοητό με ένα παράδειγμα:
- Κάνουμε έναν πίνακα με τους αριθμούς από 2 έως 30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Διαγράφουμε τα πολλαπλάσια του 2 από τη λίστα, δηλαδή διαγράφουμε από το 2 στο 2: 4, 6 κ.λπ. Πρόσεχε! Το 2, το οποίο μπορεί να διαιρεθεί μόνο μεταξύ του και του αριθμού 1, δεν το διαγράφουμε, αφού είναι πρώτος αριθμός.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό, 3 και ελέγχουμε ότι το τετράγωνο είναι μικρότερο από τον μεγαλύτερο αριθμό στον πίνακα. Σαν 32 <30, συνεχίζουμε με το κόσκινο και διαγράφουμε τα πολλαπλάσια του: 6, 9, 12 ... Όπως και στο προηγούμενο βήμα, δεν διαγράφουμε τον αριθμό 3, που είναι επίσης πρώτος.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Επαναλαμβάνουμε το προηγούμενο βήμα με τον επόμενο αριθμό στον πίνακα: 4 διαγράφεται, οπότε παίρνουμε το 5. Ως 52 <30, διαγράφουμε τα πολλαπλάσια τους.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Συνεχίζουμε με τον ακόλουθο αριθμό χωρίς διαγράμμιση: 7. Ως 72 = 49, δηλαδή, το τετράγωνο του 7 είναι μεγαλύτερο από τον τελευταίο αριθμό του πίνακα, η μέθοδος τελειώνει και οι αριθμοί χωρίς διασταύρωση είναι οι πρώτοι αριθμοί.
- Συμπέρασμα. Οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ 2 και 30 είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29.
Το κόσκινο Ερατοσθένης είναι μια γρήγορη και εύκολη μέθοδος για να γνωρίζουμε τους πρώτους αριθμούς, αλλά τι γίνεταιτι γίνεται αν ο αριθμός που θέλουμε να σπουδάσουμε είναι πολύ μεγάλος, για παράδειγμα, 54657;
Όπως καταλαβαίνετε, δεν θα ήταν πρακτικό να φτιάξετε ένα τραπέζι από 2 έως 54657, σωστά; Τι μπορούμε να κάνουμε τότε; Πολύ εύκολο: χρησιμοποιήστε κριτήρια διαιρετότητας.
Κριτήρια διαιρετότητας
Τα κριτήρια διαίρεσης είναι κανόνες για να μάθετε εάν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο χωρίς να χρειάζεται να κάνετε διαίρεση.
Έτσι, αν χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους κανόνες και παρατηρήσουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο αριθμό εκτός του ίδιου και της μονάδας, θα γνωρίζουμε ότι δεν είναι πρώτος.
- Κριτήριο διαιρετότητας του αριθμού 2. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν είναι ζυγός, δηλαδή εάν τελειώνει σε 0, 2, 4, 6 ή 8. Και, εδώ είναι ένα τέχνασμα: όπως κάθε αριθμός διαιρούμενο με 4, Το 6 ή το 8 διαιρείται επίσης με το 2, δεν θα χρειαστεί να γνωρίζουμε τα κριτήρια διαιρετότητας των άλλων ζυγών αριθμών.
- Κριτήριο διαιρετότητας του αριθμού 3. Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του τριών. Ας δούμε ένα παράδειγμα:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Δεδομένου ότι το 15 είναι πολλαπλάσιο του 3, το 267 διαιρείται με το 3.
Επιπλέον, δεδομένου ότι κάθε αριθμός διαιρούμενο με το 9 διαιρείται επίσης με το 3, θα μας αρκεί να γνωρίζουμε αυτό το κριτήριο.
- Κριτήριο διαιρετότητας του αριθμού 5. Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν τελειώνει στο 0 ή στο 5.
- Κριτήρια διαιρετότητας του αριθμού 7. Για να μάθουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 7, πρέπει να αφαιρέσουμε τον αριθμό χωρίς το τελευταίο ψηφίο και διπλάσιο από το τελευταίο ψηφίο. Εάν ο αριθμός που λαμβάνεται είναι 0 ή πολλαπλάσιο του 7, ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7. Αυτό θα το καταλάβετε καλύτερα με ένα παράδειγμα, ας το φτάσουμε!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Δεδομένου ότι το 21 είναι πολλαπλάσιο του 7, το 378 διαιρείται με το 7.
- Κριτήριο διαιρετότητας του αριθμού 11. Εάν αφαιρέσουμε το άθροισμα των ζυγών αριθμών και το άθροισμα των περιττών αριθμών, και ο αριθμός που λαμβάνεται είναι 0 ή πολλαπλάσιο του 11, αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός που μελετήθηκε διαιρείται με το 11. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Δεδομένου ότι το 11 είναι πολλαπλάσιο του 11, το 8591 διαιρείται με το 11.
Και αυτό είναι όλο! Τώρα είναι η σειρά σας: θα γνωρίζατε ήδη πώς να υπολογίσετε εάν αυτός ο υψηλός αριθμός, 54657, είναι πρώτος;
Λίστα πρώτων αριθμών από 1 έως 10.000
Τέλος, αν ψάχνετε για μια λίστα με πρώτους αριθμούς μεταξύ 1 και 10.000, όπως 1 έως 100 ή 1 έως 1.000, εδώ είναι ένας πλήρης και ενημερωμένος:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
