從 1 到 10.000 的質數

質數是那些 他們只有 2 個分隔線，因為它們只能被自身和單位整除，即數字 1。但要小心！它們可以被正數和負數整除。 這是什麼意思？ 好簡單。 一個素數，例如 2，只能被 2、-2、1 和 -1 整除。

除數大於 2 的數稱為 組合數字. 如果我們取一個合數，例如10，我們會看到，我們可以在它自身和單位之間進行整除，即在10和1之間，也可以在2和5之間。因此，10是一個合數。

所有的數都是素數還是合數？

有兩個 “特殊”號碼 既不是素數也不是複合的： 0 和 1. 為什麼？ 讓我們來看看它：

• 數字 1 可以被自身整除（1/1 = 1），也可以被單位整除，即數字 1（1/1 = 1）。 然而，一個數被認為是素數，它必須有 2 個不同的除數。 數字1只有一個約數，所以它既不是質數也不是合數。
• 0 不能被自身整除，因為結果是不確定的。

因此，如果我們從列表中刪除 0 和 1，在剩餘的大量數字中，我們如何知道哪些是質數，哪些不是？

如何判斷一個數是否為質數

最正常的就是想著用discard來做，也就是去測試，直到找到除數。 使用計算器計算速度非常快，但如果我們必須倒置或使用筆和紙進行計算，事情就會變得有點複雜。 我們教你兩種方法來判斷一個數是否為素數。

埃拉托色尼的篩子

埃拉托色尼篩法是 知道2之間的素數的技術，這是第一個質數， 和一定數量.

這種方法包括製作一張表格並劃掉整數的倍數。 首先，我們將消除 2 的倍數，然後是 3，依此類推，直到找到平方大於表中最後一個數字的數字。

就像數學中的一切一樣，埃拉托色尼篩法最好通過一個例子來理解：

1. 我們用 2 到 30 的數字製作一張表格。

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

 

2. 我們把表上2的倍數劃掉，也就是從2劃掉2到4：6、2等。 小心！ 1 只能在它自己和數字 XNUMX 之間整除，我們沒有把它劃掉，因為它是一個質數。

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

 

3. 我們取下一個數字 3，並檢查平方是否小於表中的最大數字。 作為 3² <30，我們繼續篩選並劃掉它的倍數：6, 9, 12 ... 和上一步一樣，我們沒有劃掉數字 3，它也是素數。

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

4. 我們用表中的下一個數字重複上一步：4 被劃掉，所以我們取 5。如 5² <30，我們劃掉它們的倍數。

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

5. 我們繼續使用以下數字而不划掉：7. As 7² = 49，即7的平方大於表中最後一個數，方法結束，沒有劃掉的數為素數。
6. 結論。 2 到 30 之間的質數是：2、3、5、7、11、13、17、19、23 和 29。

Eratosthenes 篩法是一種快速而簡單的方法來了解素數，但是如果我們要研究的數字太高怎麼辦例如，54657？

如您所知，製作一個從 2 到 54657 的表是不切實際的，對吧？ 那我們能做什麼呢？ 好簡單： 使用可分性標準.

可分性標準

可分性標準是 無需除法即可確定一個數是否可以被另一個數整除的規則.

因此，如果我們使用這些規則並觀察到一個數可以被除它本身和單位以外的另一個數整除，我們就會知道它不是素數。

• 數字 2 的可整性標準。如果一個數是偶數，即以 2、0、2、4 或 6 結尾，則它可以被 8 整除。而且，這裡有一個技巧：就像任何可以被 4 整除的數一樣， 6 或 8 也可以被 2 整除，我們不需要知道其他偶數的整除標準。
• 數字的可整性標準 3. 如果一個數字的數字之和是 3 的倍數，則該數字可以被 XNUMX 整除。 讓我們看一個例子：

267 -> 2 + 6 + 7 = 15

因為 15 是 3 的倍數，所以 267 可以被 3 整除。

此外，由於每個能被 9 整除的數也能被 3 整除，所以我們知道這個標準就足夠了。

• 數字 5 的整除標準。如果一個數字以 5 或 0 結尾，則它可以被 5 整除。
• 數字的可整除標準 7。要確定一個數字是否能被 7 整除，我們必須減去沒有最後一位數字的數字和最後一位數字的兩倍。 如果得到的數是 0 或 7 的倍數，則初始數可以被 7 整除。通過一個例子你會更好地理解這一點，讓我們來看看吧！

378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21

因為 21 是 7 的倍數，所以 378 可以被 7 整除。

• 數的可整性判據 11 如果我們將偶數之和和奇數之和相減，得到的數是 0 或 11 的倍數，則表示所研究的數能被 11 整除。這裡是一個例子：

8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11

因為 11 是 11 的倍數，所以 8591 可以被 11 整除。

就這樣！ 現在輪到您了：您是否已經知道如何計算大數 54657 是否是素數？

從 1 到 10.000 的素數列表

最後，如果您正在尋找 1 到 10.000 之間的素數列表，例如 1 到 100 或 1 到 1.000，這裡是一個完整且更新的列表：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919