Alkuluvut ovat niitä niissä on vain 2 jakajaa, koska ne jakautuvat vain itsestään ja yksiköstä, eli numerosta 1. Mutta ole varovainen! Ne jakautuvat sekä positiivisilla että negatiivisilla luvuilla. Mitä tämä tarkoittaa? Erittäin helppoa. Alkuluku, esimerkiksi 2, voidaan jakaa vain 2, -2, 1 ja -1.
Soitetaan numeroita, joissa on enemmän kuin 2 jakajaa säveltänyt numeroita. Jos otamme yhdistelmäluvun, esimerkiksi 10, näemme, että voimme jakaa sen itsestään ja yhtenäisyydestä, eli 10: n ja 1: n välillä, mutta myös 2: n ja 5: n välillä. Siksi 10 on yhdistelmäluku.
Ovatko kaikki numerot alkulukuisia vai yhdistettyjä?
Niitä on kaksi "erikoiset" numerot jotka eivät ole ensisijaisia tai yhdisteitä: 0 ja 1. Miksi? Katsotaanpa:
- Numero 1 voidaan jakaa itsestään (1/1 = 1) ja ykseydellä eli toisin sanoen numero 1 (1/1 = 1). Kuitenkin, jotta lukua voidaan pitää ensisijaisena, sillä on oltava kaksi eri jakajaa. Numerolla 2 on vain yksi jakaja, joten se ei ole alkuluku eikä yhdistelmä.
- Nollaa ei voida jakaa itsestään, koska tulos on epämääräinen.
Joten jos poistamme luettelosta 0 ja 1 jäljellä olevasta suuresta määrästä, mistä tiedämme, mitkä ovat alkulähteitä ja mitkä eivät?
Kuinka tietää, onko luku ensisijainen
Normaalimpi asia on ajatella sen tekemistä hylkäämällä, eli mennä testaamaan, kunnes löydät jakajat. Laskurilla se on melko nopea, mutta jos meidän on tehtävä se ylösalaisin tai kynällä ja paperilla, asiat muuttuvat hieman monimutkaisiksi. Opetamme sinulle kaksi tapaa tietää, onko numero alkuluku vai ei.
Eratosthenesin seula
Eratosthenes -seula on a tekniikka tietää alkuluvut välillä 2, joka on ensimmäinen alkuluku, ja tietty numero.
Tämä menetelmä koostuu taulukon tekemisestä ja kokonaislukujen moninkertaistamisesta. Ensin poistamme 2: n, sitten 3: n kerrannaiset ja niin edelleen, kunnes saavutamme neliön luvun, joka on suurempi kuin taulukon viimeinen numero.
Kuten kaikki matematiikassa, Eratosthenes -seula ymmärretään parhaiten esimerkin avulla:
- Teemme taulukon numeroilla 2-30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Yliviivataan luettelosta 2: n kerrannaiset, ts. Ylitetään 2: sta 2: 4, 6 jne. Varo! 2, joka voidaan jakaa vain itsensä ja luvun 1 välille, emme ylitä sitä, koska se on alkuluku.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Otamme seuraavan numeron 3 ja tarkistamme, että neliö on pienempi kuin taulukon suurin numero. Kuten 32 <30, jatkamme seulaa ja ylitä sen kerrannaiset: 6, 9, 12 ... Kuten edellisessäkin vaiheessa, emme yliviivaa numeroa 3, joka on myös prime.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Toistamme edellisen vaiheen seuraavalla taulukon numerolla: 4 on yliviivattu, joten otamme 5. Kuten 52 <30, ylitämme niiden kerrannaiset.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Jatkamme seuraavalla numerolla ylittämättä: 7. Kuten 72 = 49, eli neliö 7 on suurempi kuin taulukon viimeinen luku, menetelmä päättyy ja jakamaton luku on alkuluku.
- Johtopäätös. Alkuluvut välillä 2 ja 30 ovat: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29.
Eratosthenes -seula on nopea ja helppo tapa tietää alkuluvut, mutta entäentä jos lukumäärä, jonka haluamme opiskella, on liian suuriesimerkiksi 54657?
Kuten ymmärrät, ei olisi käytännöllistä tehdä taulukko 2-54657, eikö? Mitä voimme tehdä? Erittäin helppoa: käyttää jakokriteereitä.
Jakautumiskriteerit
Jakautumiskriteerit ovat sääntöjä sen selvittämiseksi, onko yksi numero jaettavissa toisella ilman jakamista.
Jos siis käytämme näitä sääntöjä ja havaitsemme, että luku jaetaan muulla numerolla kuin itse ja yksikkö, tiedämme, että se ei ole alkuluku.
- Luvun 2 jakautumiskriteeri. Luku on jaollinen 2: lla, jos se on parillinen, eli jos se päättyy 0, 2, 4, 6 tai 8. Ja tässä on temppu: kuten mikä tahansa luku, joka on jaollinen 4: llä, 6 tai 8 on myös jaollinen 2: lla, meidän ei tarvitse tietää muiden parillisten numeroiden jakautumiskriteerejä.
- Luvun 3 jakautumiskriteeri. Luku on jaollinen 3: lla, jos sen numeroiden summa on kolmen kerrannainen. Katsotaanpa esimerkkiä:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Koska 15 on 3: n monikerta, 267 on jaollinen 3: lla.
Lisäksi koska jokainen numero, joka on jaollinen yhdeksällä, on jaollinen myös kolmella, riittää, että tiedämme tämän kriteerin.
- Luvun jakautumiskriteeri 5. Luku on jaollinen 5: llä, jos se päättyy 0: een tai 5: een.
- Luvun jakautumiskriteeri 7. Jotta saisimme selville, onko luku jaollinen 7: llä, meidän on vähennettävä luku ilman viimeistä numeroa ja kaksi kertaa viimeistä numeroa. Jos saatu luku on 0 tai 7: n monikerta, alkuperäinen luku on jaollinen 7. Ymmärrät tämän paremmin esimerkin avulla, mennään siihen!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Koska 21 on 7: n monikerta, 378 on jaollinen 7: lla.
- Luvun jakautumiskriteeri 11. Jos vähennämme parillisten ja parittomien summien summan ja saatu luku on 0 tai 11: n kerrannainen, se tarkoittaa, että tutkittu luku on jaollinen 11: llä. esimerkki:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Koska 11 on 11: n monikerta, 8591 on jaollinen 11: lla.
Ja siinä kaikki! Nyt on sinun vuorosi: osaatko jo laskea, onko tuo suuri luku, 54657, alkuluku?
Luettelo alkuluvuista 1-10.000 XNUMX
Lopuksi, jos etsit luetteloa alkuluvuista 1-10.000 1, kuten 100-1 tai 1.000-XNUMX, tässä on täydellinen ja päivitetty luettelo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
