முதன்மை எண்கள் தான் அவர்களிடம் 2 வகுப்பிகள் மட்டுமே உள்ளன, அவர்கள் தங்களால் மற்றும் அலகு மூலம் மட்டுமே வகுக்கப்படுவதால், எண் 1. ஆனால் கவனமாக இருங்கள்! அவை நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்களால் வகுக்கப்படுகின்றன. இதற்கு என்ன அர்த்தம்? மிக எளிதாக. ஒரு பிரதான எண், எடுத்துக்காட்டாக 2, 2, -2, 1 மற்றும் -1 ஆல் மட்டுமே வகுக்க முடியும்.
2 க்கும் மேற்பட்ட வகுப்பிகளைக் கொண்ட எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன இயற்றப்பட்ட எண்கள். நாம் ஒரு கூட்டு எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக, 10, நாம் அதை தனக்கும் ஒற்றுமைக்கும் இடையில் பிரிக்கலாம், அதாவது 10 மற்றும் 1 க்கு இடையில், ஆனால் 2 மற்றும் 5 க்கு இடையில் பிரிக்கலாம். எனவே, 10 என்பது ஒரு கூட்டு எண்.
அனைத்து எண்களும் பிரதானமா அல்லது கூட்டுவா?
இரண்டு உள்ளன "சிறப்பு" எண்கள் அவை முதன்மை அல்லது கூட்டு அல்ல: 0 மற்றும் 1. ஏன்? அதைப் பார்ப்போம்:
- எண் 1 ஐ தன்னால் (1/1 = 1) மற்றும் ஒற்றுமையால் பிரிக்கலாம், அதாவது எண் 1 (1/1 = 1). எவ்வாறாயினும், ஒரு எண்ணை ஒரு முதன்மையாகக் கருத வேண்டுமானால், அதற்கு 2 வெவ்வேறு வகுப்பிகள் இருக்க வேண்டும். எண் 1 க்கு ஒரு வகுப்பான் மட்டுமே உள்ளது, எனவே இது ஒரு பிரைம் அல்லது கலப்பு அல்ல.
- 0 ஐ தன்னால் பிரிக்க முடியாது, ஏனெனில் முடிவு நிச்சயமற்றது.
பட்டியலில் இருந்து 0 மற்றும் 1 ஐ நீக்கினால், அதிக எண்ணிக்கையிலான எண்களில், எது முதன்மையானது, எது இல்லை என்று நமக்கு எப்படித் தெரியும்?
ஒரு எண் முதன்மையானதா என்பதை எப்படி அறிவது
நிராகரிப்பதன் மூலம் அதைச் செய்வது பற்றி சிந்திப்பது மிகவும் சாதாரண விஷயம், அதாவது வகுப்பிகளைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்பது. ஒரு கால்குலேட்டருடன் அது மிக வேகமாக இருக்கும், ஆனால் நாம் அதை தலைகீழாக அல்லது பேனா மற்றும் காகிதத்தால் செய்ய வேண்டும் என்றால், விஷயங்கள் சற்று சிக்கலானதாகிவிடும். ஒரு எண் பிரதானமா இல்லையா என்பதை அறிய இரண்டு முறைகளை நாங்கள் உங்களுக்குக் கற்பிக்கிறோம்.
எரடோஸ்தீனஸின் சல்லடை
எரடோஸ்தெனீஸின் சல்லடை ஏ 2 க்கு இடையில் உள்ள முதன்மை எண்களை அறியும் நுட்பம், இது முதல் முதன்மை எண், மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.
இந்த முறை ஒரு அட்டவணையை உருவாக்கி முழு எண்களின் பெருக்கங்களைக் கடக்கிறது. முதலில் நாம் 2, பிறகு 3, மற்றும் பல மடங்குகளை அகற்றுவோம்.
கணிதத்தில் உள்ள எல்லாவற்றையும் போலவே, எரடோஸ்தெனெஸ் சல்லடை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது:
- நாங்கள் 2 முதல் 30 வரையிலான எண்களைக் கொண்ட அட்டவணையை உருவாக்குகிறோம்.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- பட்டியலில் இருந்து 2 இன் பெருக்கங்களை நாங்கள் கடக்கிறோம், அதாவது, 2 முதல் 2: 4, 6, முதலியவற்றைத் தாண்டுகிறோம். கவனியுங்கள்! 2, தனக்கும் எண் 1 க்கும் இடையில் மட்டுமே பிரிக்க முடியும், அது ஒரு முதன்மை எண் என்பதால், நாம் அதை கடக்கவில்லை.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- அடுத்த எண், 3 ஐ எடுத்து, அட்டவணையில் உள்ள பெரிய எண்ணிக்கையை விட சதுரம் குறைவாக உள்ளதா என சரிபார்க்கிறோம். 3 என2 <30, நாங்கள் சல்லடையைத் தொடர்கிறோம் மற்றும் அதன் பெருக்கங்களைக் கடக்கிறோம்: 6, 9, 12 ... முந்தைய படியைப் போலவே, நாங்கள் 3 ஐக் கடக்கவில்லை, இதுவும் முதன்மையானது.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- அட்டவணையில் அடுத்த எண்ணுடன் முந்தைய படியை நாங்கள் மீண்டும் செய்கிறோம்: 4 கடந்துவிட்டது, எனவே நாங்கள் 5 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம்2 <30, நாம் அவர்களின் பெருக்கங்களைக் கடக்கிறோம்.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- பின்வரும் எண்ணை நாங்கள் கடக்காமல் தொடர்கிறோம்: 7. 7 என2 = 49, அதாவது, 7 இன் சதுரம் அட்டவணையில் உள்ள கடைசி எண்ணை விட அதிகமாக உள்ளது, முறை முடிவடைகிறது, மற்றும் வெளியேறாமல் எண்கள் முதன்மை எண்கள்.
- முடிவுரை. 2 மற்றும் 30 க்கு இடையிலான முக்கிய எண்கள்: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 மற்றும் 29.
எரடோஸ்தெனஸ் சல்லடை என்பது முதன்மை எண்களை அறிய விரைவான மற்றும் எளிதான முறையாகும், ஆனால் என்ன செய்வதுநாம் படிக்க விரும்பும் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்தால் என்ன ஆகும்உதாரணமாக, 54657?
நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, 2 முதல் 54657 வரை ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவது நடைமுறையில் இருக்காது, இல்லையா? அப்போது நாம் என்ன செய்ய முடியும்? மிக எளிதாக: வகுக்கும் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தவும்.
வகுக்கும் அளவுகோல்
வகுக்கும் அளவுகோல்கள் ஒரு எண் வகுக்காமல் மற்றொரு எண்ணால் வகுக்கப்படுகிறதா என்பதைக் கண்டறியும் விதிகள்.
இவ்வாறு, இந்த விதிகளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு எண் தன்னைத் தவிர மற்ற எண்ணால் வகுக்கப்படுவதைக் கவனித்தால், அது பிரைம் அல்ல என்பதை நாம் அறிவோம்.
- எண்ணைப் பிரிப்பதற்கான அளவுகோல் 2. ஒரு எண் சமமாக இருந்தால் 2 ஆல் வகுக்கப்படும், அதாவது 0, 2, 4, 6 அல்லது 8 இல் முடிவடையும். 4 அல்லது 6 என்பது 8 ஆல் வகுபடும், மற்ற சம எண்களின் வகுக்கும் அளவுகோல்களை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியதில்லை.
- எண்ணைப் பிரிப்பதற்கான அளவுகோல் 3. ஒரு எண் அதன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றின் பெருக்கத்தால் 3 ஆல் வகுபடும். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
15 என்பது 3 இன் பெருக்கல் என்பதால், 267 ஐ 3 ஆல் வகுபடும்.
கூடுதலாக, 9 ஆல் வகுக்கப்படும் ஒவ்வொரு எண்ணும் 3 ஆல் வகுபடும் என்பதால், இந்த அளவுகோலை நாம் அறிந்து கொண்டால் போதும்.
- எண்ணின் வகுத்தல் அளவுகோல் 5. ஒரு எண் 5 அல்லது 0 இல் முடிந்தால் 5 ஆல் வகுபடும்.
- எண்ணைப் பிரிப்பதற்கான அளவுகோல் 7. ஒரு எண்ணை 7 ஆல் வகுபடுகிறதா என்பதை அறிய, நாம் கடைசி இலக்கத்தை விடவும் கடைசி இலக்கத்தை விட இரண்டு மடங்காகவும் கழிக்க வேண்டும். பெறப்பட்ட எண் 0 அல்லது 7 இன் பெருக்கல் என்றால், ஆரம்ப எண் 7 ஆல் வகுபடும். இதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் நீங்கள் நன்றாகப் புரிந்துகொள்வீர்கள், அதைத் தெரிந்துகொள்வோம்!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
21 என்பது 7 இன் பெருக்கல் என்பதால், 378 ஐ 7 ஆல் வகுபடும்.
- எண்ணின் வகுப்பின் அளவுகோல் 11. சம எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கழித்தால், பெறப்பட்ட எண் 0 அல்லது 11 இன் பெருக்கல் என்றால், படித்த எண் 11. ஆல் வகுபடும். ஒரு உதாரணம்:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
11 என்பது 11 இன் பெருக்கல் என்பதால், 8591 ஐ 11 ஆல் வகுபடும்.
அவ்வளவு தான்! இப்போது உங்கள் முறை: அந்த அதிக எண், 54657, ஒரு முதன்மையானதாக இருந்தால் எப்படி கணக்கிடுவது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியுமா?
1 முதல் 10.000 வரையிலான முதன்மை எண்களின் பட்டியல்
இறுதியாக, 1 முதல் 10.000 அல்லது 1 முதல் 100 வரை 1 முதல் 1.000 வரையிலான முதன்மை எண்களின் பட்டியலை நீங்கள் தேடுகிறீர்களானால், இங்கே ஒரு முழுமையான மற்றும் புதுப்பிக்கப்பட்ட எண்:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
